ĐÁP ÁN: B

Đáp án A

Giả sử tứ diện đều cạnh a

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ B C D ⇒ A H ⊥ B C D

Gọi E là trung điểm 

A C ⇒ M E // A B ⇒ A B , D M = M E , M D

Ta có  M E = a 2 , E D = M D = a 3 2

cos A B , D M = cos M E , M D = cos E M D ⏜
cos E M D ⏜ = M E 2 + M D 2 − E D 2 2 M E . M D = 3 6

THAM KHẢO:

Tam giác ACD đều cạnh a có AK là trung tuyến nên AK=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)a

Gọi I là trung điểm của BD

Tam giác ABD đều cạnh a có AI là trung tuyến nên AI=\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)a

Tam giác BCD có IK là đường trung bình nên IK//BC, IK=\(\dfrac{1}{2}\)BC=\(\dfrac{1}{2}\)a

Ta có: cos\(\widehat{AKI}\)=\(\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

Nên \(\widehat{AKI}\)=\(73,2^0\)

Vì BC//IK nên góc giữa AK và BC là góc giữa AK và KI và bằng \(73,2^0\)

Đáp án D

Gọi I là trung điểm OA. Vì IM// SO ⇒ IM⊥(ABCD) nên hình chiếu của MN lên (ABCD) là IN. Suy ra 

Áp dụng định lí cô sin trong ΔCIN, ta có: 

Ta có d(BC, DM) = d(BC, (SAD)) = d(N, (SAD)) = 2d(O, (SAD)) = 2d(O, (SBC)).

Kẻ OE ⊥ SN ⇒ OE ⊥ (SBC).

Ta có d(O, (SBC)) = OE mà

Đáp án C

Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại P và vẽ đường thẳng song song với CD cắt BD tại Q. Ta có mp (MNPQ) song song với cả AB và CD. Từ đó

Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác (do M, N là các trung điểm) ta suy ra được MP = MQ = NP = a hay tứ giác MPNQ là hình thoi.

Tính được

Chọn B

Gọi I là hình chiếu của M lên (ABCD), suy ra I là trung điểm của AO.

 Khi đó

Xét tam giác CNI có

Áp dụng định lý cosin ta có:

Xét tam giác MIN vuông tại I  nên

Mà MI//SO

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:

Khi đó 

Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SBD)

Suy ra